神奇的一笔画

发布日期:2021-12-06    浏览量:367

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所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.

什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.

 

我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.

相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.

 

一笔画问题:

(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;

(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点;

(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点;

(4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画.

多笔画问题:

我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n个奇点(n为自然数),那么这个图一定可以用n笔画成.

总结:由0个或者两个奇点组成的图形可以由一笔画成,如果有2n个奇点(n为自然数),那么这个图一定可以用n笔画成.

例题1:同学们野营时建了9个营地,连接营地之间的道路如图所示,贝贝要给每个营地插上一面旗帜,要求相邻营地的旗帜色彩不同,则贝贝最少需要           种颜色的旗子,如果贝贝从某营地出发,不走重复路线就          (填“能”或“不能”)完成任务.

image.png 

【解析】最少需要3种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形,要使这三点所代表营地两粮相邻,要使相邻营地没有相同颜色的旗子,必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。不走重复路线不能完成插旗的任务,因为本题共有6各奇点。


例题2:判断下列图a、图b、图c能否一笔画.

image.png 

【解析】
图a能,因为有2个奇点,

图a能b不能,因为图形不是连通的,

图c能,因为因为图中全是奇点

【答案】a能,a能,c能



例题3:下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?

image.png 

【解析】
图1能 因为图中全是偶点;

图2能 因为图中全是偶点;

图3不能因为有4个奇点。

【答案】图1能 因为图中全是偶点;

图2能 因为图中全是偶点;

图3不能因为有4个奇点。