裂项相消的升级变形

发布日期:2021-12-15    浏览量:227

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在我们平时小学奥数的计算中,裂项相消一直都是一块非常重要的板块,数列的求和里面包括了倒数相加,错位相减以及裂项相消,三种求和方式尤其以裂项相消难度最大。
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对考生要求较高。
分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。

对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即image.png形式的,这里我们把较小的数写在前面,即image.png,那么有image.png
例如最常见的:image.png

对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:

image.pngimage.png形式的,我们有:

image.png

image.png

 

裂差型裂项的三大关键特征:

(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的,但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

 

二、“裂和”型运算:

常见的裂和型运算主要有以下两种形式:

(1)image.png (2)image.png

裂和型运算与裂差型运算的对比:

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。


例题1:image.png

【解析】原式image.png

提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:image.png,计算过程就要变为:

image.png

【答案】image.png


例题2:image.png

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有image.png

原式image.png

【答案】image.png



例题3:计算:image.png

【解析】原式image.png

image.png

【答案】image.png