考编数学高频考点——数列

发布日期：2021-06-28    浏览量：444

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1.定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

2.通项公式

如果等差数列的首项为，公差为d，那么它的通项公式是.

3.等差中项

如果，那么A叫做a与b的等差中项.

4.常用性质

（1）通项公式的推广：.

（2）若为等差数列，且，则.

（3）若是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为2d.

（4）若，是等差数列，则也是等差数列.

（5）若是等差数列，公差为d，则，是公差为md的等差数列.

5.前n项和公式

设等差数列的公差为d，其前n项和或.

二、等比数列

1.定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.

2.通项公式

设等比数列的首项为，公比为q，则它的通项.

3.等比中项

若，那么G叫做a与b的等比中项.

4.常用性质

（1）通项公式的推广：

（2）若为等比数列，且，则.

（3）若，（项数相同）是等比数列，则，，仍是等比数列.

5.前n项和公式

等比数列的公比为，其前n项和为，

当时，；

当时，.

6.前n项和的性质

公比不为1的等比数列的前n项和为，则，，仍成等比数列，其公比为.

三、由数列的递推关系求通项公式

已知数列的递推关系，求数列的通项时通常用累加、累乘、构造法求解.当出现时，构造等差数列；当出现时，构造等比数列；当出现时，用累加法求解；当出现时，用累乘法求解.

例题：根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：

（1）；

（2）；

（3）.

【解析】（1）

；

（2）方法一：，

方法二：由题意，对一切自然数n成立，

（3）

四、由数列的前n项和求通项公式

例题：设数列的前n项和为，且.

（1）写出的值，并求出数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的通项公式.

【解析】（1）

（2）

五、数列求和

1.数列求和的常用方法

（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列

例题：已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为2的等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【解析】（1）由已知得，

所以.

当时，；

当时，，满足上式.

综上，数列的通项公式为；

（2）由（1）可得，

当n为偶数时，；

当n为奇数时，n+1为偶数，.

综上，

（2）裂项相消：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.

例题：设为数列的前n项和，已知，对任意，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求证：.

【解析】（1）因为，

当时，，

两式相减，得，即，

所以当时，，所以.

因为，所以；

（2）

Tip：1.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.归纳起来常见的命题角度有：

（1）形如型；（2）形如型；（3）形如型

2.利用裂项相消法求和的注意事项：

（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；

（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数的乘积和原通项相等.如：若是公差为d的等差数列，则，

（3）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和

例题：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，.

（1）求，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，则依题意有且.解得，.所以，；

（2）

（4）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导

（5）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.

例如

2.常见的拆项公式